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CATASTROPHE TEACHER

an introduction for experimentalists

 


Les sept catastrophes élémentaires

le pli |  la fronce |  la queue d'aronde |  le papillon |  l'ombilic hyperbolique |  l'ombilic elliptique |  l'ombilic parabolique |

Catastrophes dans les systèmes à deux variables d'état:

L'ombilic parabolique (parabolic umbilic, en Anglais)

Germe (Germ, en Anglais)

V = x2y + y4

Déploiement (Unfolding, en Anglais)

V(a, b, c) = x2y + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

Une applet

L'applet permet d'explorer les propriétés de l'ombilic parabolique.

  • En bas : le tableau de commande. Pour l'ombilic parabolique il y a quatre commandes.
  • En haut à gauche : une représentation de l'espace de commande; il s'agit d'une section par un plan (a = cte b = cte). Position des valeurs des paramètres de commande (c, d) et section de l'ensemble de catastrophes
  • En haut au milieu : le cratère de potentiel. Le niveau de gris correspond à la valeur du potentiel, les coordonnées sur le plan correspondent à la valeur des variables d'état. Les niveaux foncés correspondent aux minimums.
  • En haut à droite, la valeur d'équilibre des variables d'état sur une échelle de couleur (à deux dimensions puisqu'il y a deux variables d'état)
    Il est possible de tester la stabilité de l'équilibre des variables d'état en cliquant sur un point du cratère de potentiel.
  • Ensemble de catastrophe (Bifurcation set, en Anglais)

    Le germe correspond à la fusion de

    L'ombilic parabolique est la plus compliquée de 7 catastrophes élémentaires.
    Voici deux applets pour explorer l'ensemble de catastrophes

    La ligne des ombilics

    La ligne d'équation b = -6a2, c = 0, d = -8a3 est appelée "ligne des ombilics".

  • En utilisant le curseur de commande, on se déplace dans l'espace de commande le long de la ligne des ombilics
  • Les lignes vertes correspondent à l'intersection du cratère de potentiel avec un plan passant par l'ombilic
  • Pour a > 0, le cratère présent un ombilic elliptique
  • Pour a < 0, le cratère présent un ombilic hyperbolique
  • L'applet montre comment l'ombilic elliptique se transforme en ombilic hyperbolique à travers l'ombilic parabolique (pour a = 0)
  • Sections de l'ensemble de catastrophes

  • En utilisant le curseur de commande, on fixe les valeurs de a et de b de manière que a2 + b2 = 6.25
  • A gauche, position de la valeur des paramètres dans le plan {a, b}; en bleu la ligne des ombilics b = -6a2
  • A droite, section de l'ensemble de catastrophe dans le plan {c, d}
  • le pli |  la fronce |  la queue d'aronde |  le papillon |  l'ombilic hyperbolique |  l'ombilic elliptique |  l'ombilic parabolique |

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    Auteur: Lucien Dujardin

    Faculté de Pharmacie BP 83 F 59006 Lille Cedex France

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