Au commencement...

 

Résumé : texte

 


fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4

Au commencement, la cinétique

Un "système" plus une grandeur observable plus une horloge. Voilà le début d'un travail expérimental.

On compare la valeur (x) de l'observable à la valeur affichée (t) sur l'horloge. On reporte cela sur un graphique: c'est une cinétique. A partir de là, on se pose des questions.

Voici quelques exemples de cinétiques:

  • fig. 1: évolution de la glycémie à jeun ou position d'un pendule simple au repos ou potentiel de repos de la fibre nerveuse.
  • fig. 2: évolution de la glycémie dans un test d'hyperglycémie provoquée.
  • fig. 3: évolution de la position d'un pendule simple (frottements négligeables).
  • fig. 4: évolution de la position d'un pendule simple (frottements importants).
  • fig. 5: Potentiel d'action de la fibre nerveuse.
  • fig. 6: Courbe de croissance d'un microorganisme dans une fiole de culture.
  • fig. 7: Position d'un pendule simple entrainé ou une décharge épileptique d'un neurone.

    Remarque: L'échelle de temps a son importance; la glycémie à jeun n'est pas enregistrée pendant toute la durée d'une grève de la faim, par exemple.
     


  • fig. 5
    fig. 6
    fig. 7

    La perturbation, un moyen d'étude

    En elle même, la cinétique de l'exemple 1 n'est pas très intéressante. Les exemples 2 à 5 reprennent l'exemple 1 après une perturbation, et cette fois la curiosité s'éveille. Le "système" "réagit", des "forces" interviennent, le "système" est un "système dynamique". toutes ces guillemets mettent en évidence des mots dont il faudrait préciser la définition

    L'exemple 6 est du même type que les exemples 2 à 5 si on veut bien remarquer que la fiole de culture avant ensemencement se comporte comme une courbe d'exemple 1. La valeur de x est constante et nulle, l'ensemencement de la fiole est une perturbation de x.

    L'exemple 7 n'est pas à proprement parler le résultat d'une perturbation. C'est le comportement compliqué d'un système placé dans des conditions particulières. Dans d'autres conditions, le même système peut avoir des comportements plus simples.

    Remarque: si on ne connaissait que le comportement épileptique de la fibre nerveuse, on serait probablement découragé d'entreprendre son étude.
     


    fig. 8

    Une autre représentation des résultats

    Sur les exemples 2 à 7, la valeur x de l'observable évolue en fonction de t. En chaque point de la courbe que l'on a appelée "cinétique", on peut définir une nouvelle grandeur: la vitesse d'évolution de x, la pente de la tangeante à la courbe en ce point.
    Cette démarche peut se généraliser à l'exemple 1, la vitesse d'évolution de x est constante et nulle.

    On peut maintenant représenter la vitesse d'évolution (v) en fonction de x (fig. 8).
    Le plan {x,v} est appelé plan de phases. Dans le plan de phases, une cinétique se transforme en une trajectoire. Le point (x,v) du plan de phases à l'instant t de l'évolution du système est appelé "point représentatif" du système. Chaque point (x,v) du plan de phases réalise potentiellement une condition initiale du système.

    Remarque: il se peut que le fonctionnement du système observé soit le résultat de l'interaction de x et d'autres grandeurs que nous n'avons pas observées: nous n'y avons pas pensé, ou cette grandeur n'est pas accessible à l'observation. Le plan de phases observé n'est alors que la projection sur un plan d'un espace de phases de plus grande dimension.

    Si le système est déterministe, il passe en général une seule trajectoire d'évolution du système en chaque point de l'espace de phases. Si plusieurs trajectoires passaient par un même point, cela voudrait dire que plusieurs avenirs sont possibles pour une même condition initiale, ce qui est le contraire du déterminisme.
    Ceci n'est bien sûr plus vrai pour un plan de phases si celui-ci n'est qu'une projection d'un espace de phases de plus grande dimension.
     

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    Le but de l'expérimentation

    Le but de l'expérimentation est de révéler le fonctionnement des systèmes. Les moyens mis en oeuvre sont la perturbation du système et l'étude des trajectoires dans l'espace de phases.

    Il s'agit de trouver dans l'espace de phases

  • des points singuliers (où il passe plusieurs trajectoires)
  • des trajectoires particulères au voisinnage desquelles aboutissent un grand nombre de trajectoires.
     
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    Une alternative pour la reconstruction de l'espace de phases

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