L'oscillateur linéaire

 

Résumé :

 

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Problème

Dans un plan horizontal, on considère un système oscillant formé d'un mobile autoporteur lié à deux points fixes par l'intermédiaire de deux ressorts élastiques identiques, de masses négligeables, et de même axe. Le système, initialement au repos, est écarté de sa position d'équilibre en déplaçant le centre d'inertie G du mobile le long de l'axe des deux ressorts.
baccalauréat série S, juin 97.
 

Une applet

Déplacez le centre d'inertie G sur l'applet ci-contre: il suffit de placer le curseur sur l'applet, de cliquer sur la souris, de la déplacer et de la relacher.
La masse oscille. Pour chaque position de la masse, le vecteur force de rappel est affiché (en bleu).
Il n'y a pas de frottements ; une fois lancé, l'oscillateur ne s'arrête plus.
 
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Comment décrire le mouvement de la masse ?

Les forces qui agissent sur le centre d'inertie G sont :
  • son poids qui est équilibré par la réaction du support (mobile autoporteur). Ces deux forces s'annulent.
  • la force de rappel exercée par les ressorts. Cette force est égale à - k x (x est la distance de la masse à sa position d'équilibre)
    La masse subit donc une accélération égale à la force de rappel divisée par la masse.
    On peut donc écrire (c'est la fameuse loi de Newton F = g)
  • d2x / dt2 = - k x / m  (1)
     
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    Le mouvement est donné par une équation différentielle

    Une équation dfférentielle est une relation entre une variable et ses dérivées (x, dx / dt, d2x / dt2, ... position, vitesse, accélération...) Ici l'équation différentielle se présente comme une relation du premier degré. On dit qu'elle est linéaire.
     

    Plan de phase

    Au lieu d'étudier la position en fonction du temps, nous allons nous interesser à l'évolution de la vitesse en fonction de la position.
    La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps : v = dx / dt
    L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps : d2x / dt2 = dv / dt

     
    L'équation (1) s'écrit sous forme d'un système (2) :

    • dx / dt = v
    • dv / dt = -kx / m

    L'état de l'oscillateur à chaque instant est représenté par un point dans le plan (x, v) que l'on appelle "plan de phase" (partie rose de l'applet). Les composantes du vecteur vitesse du point représentatif dans le plan de phase sont données par le système (2). La deuxième équation du système traduit le fait qu'il y a échange de l'énergie cinétique et de énergie potentielle avec conservation de la somme de ces énergies.

    Déplacez le centre d'inertie G sur l'applet ci-contre ; le centre d'inertie G oscille et le point représentatif du système se déplace dans le plan de phase. Le long d'une trajectoire dans le plan de phase, l' énergie du système est constante.

    Géométrisation

    La figure ci-contre propose une représentation géométrique synthétique du comportement du système.
     
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    L'oscillateur linéaire n'est pas structurellement stable

    Initialement, le système constitué des ressorts et le la petite masse était au repos : la position de la masse était fixe. On a écarté la masse de cette position. Le système n'est pas revenu à son état initial. Il s'est mis à osciller indéfiniment. Si on le perturbe de nouveau, il oscille avec une autre amplitude. Le diagramme de phase de ce système est constitué de cercles concentriques. Chaque trajectoire circulaire correspond à une certaine quantité d'énergie. Le système sans frottement est conservatif. Une perturbation modifie le niveau d'énergie. Le système est incapable de corriger cette perturbation.
     

    L'oscillateur linéaire amorti, un système dynamique stable


    Pour obtenir un système régulé, on peut introduire des frottements; Les frottements dissipent l'énergie apportée par la perturbation. Le système revient toujours au repos après perturbation.

    L'applet ci-contre correspond à l'oscillateur linéaire avec frottements. Déplacez G et constatez le retour à l'équilibre aprà perturbation. Sur la figure synthétique, la trajectoire du système s'enroulerait en descendant dans le cratère d'énergie.

    On peut aussi souhaiter obtenir un véritable oscillateur régulé. Un tel oscillateur corrigerait une perturbation en gagnant ou en perdant de l'énergie selon que la perturbation lui en fait perdre ou gagner. Un tel oscillateur oscillerait avec la même amplitude (et la même fréquence) après correction de la perturbation.

    Voyons d'abord comment communiquer de l'énergie à un oscillateur électrique.

    Etude du montage à résistance négative

    Etude du mécanisme d'échappement
     

     

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